Precificação de Opções: Modelo Black & Scholes

Por |2014-01-17T09:00:00+00:0017 de janeiro de 2014|

precificação de opções já foi realizada por meio de diversos diferentes modelos, mas atualmente os mais comuns são o Binomial e o modelo Black & Scholes. Ambos levam em consideração várias variáveis no momento de se precificar uma opção e por isso envolvem certa complexidade. No entanto isso também garante que os resultados sejam mais precisos. Se você ainda precisa de ajuda para entender melhor como investir em opções, leia este artigo. Antes de começarmos, preparei este presente para você:

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1. Como Utilizar o Modelo Black & Scholes

Devido sua relativa simplicidade e alta eficácia, o modelo Black Scholes é amplamente utilizado para encontrar os preços justos de opções. Com certeza você também vai virar fã desta fórmula: modelo precificacao black scholes Foi elaborado por dois cientistas chamados Fisher Black e Myron Scholes, que adaptaram uma fórmula física para descrever um fenômeno financeiro que é a precificação de derivativos. Este modelo foi proposto pela primeira vez em 1973, e fez seus criadores ganharem o prêmio Nobel de 1997. Várias alterações nesse modelo já foram realizadas visando a maximizar sua utilidade, estendendo assim sua função de somente precificar e nos dando critérios para analisar os mercados mais a fundo. Um exemplo disso seriam as letras gregas derivadas desse modelo que nos dão uma nova fronteira de possibilidades de análises.

a. Variáveis para precificação

O modelo em si leva em consideração essencialmente cinco variáveis:
  • Volatilidade (anualizada, considerando a função financeira de cálculo de juros compostos calculada continuamente)
  • Taxa de Juros livre de risco (SELIC no caso brasileiro)
  • Tempo restante para o exercício da opção
  • Preço do ativo objeto
  • Preço da Opção
Além do fator temporal para o exercício, que é inerente ao processo de precificação uma opção, uma vez que ele elimina as incertezas, a volatilidade é a variável de maior peso na precificação. A partir de seu resultado é possível precificar com grande possibilidade de acerto o valor correto e em certas hipóteses até projetar preços futuros, mas as particularidades dessa variável serão vistas mais a frente.

b. Cálculos da Black & Scholes

Fazer todos os cálculos do modelo Black & Scholes não é fácil, o ideal é ter a ajuda de computadores, utilizar alguma calculadora disponível online (como esta aqui) ou utilizar o Excel com cotações em tempo real. Calcularemos somente a opção call (compra)uma vez que o calculo da opção put (venda) é realizado da mesma maneira, porém com sinal inverso. A fórmula de cálculo do modelo Black & Scholes para calcular o prêmio de uma call europeia é: modelo de precificação Black & Scholes Em que às variáveis são:
  1. Preço de Exercício do ativo K
  2. Data de Exercício, com prazo T medido como fração de um ano. É o tempo a decorrer entre a data da análise e a data de exercício.
  3. Preço da Ação S da qual deriva a opção call (de compra).
  4. Taxa de Juro livre de risco r com período anual e medida como taxa instantânea no regime de capitalização contínua.
  5. Volatilidade anual medida geralmente como o desvio-padrão  dos retornos da ação.

Os fatores N(d) são as probabilidades acumuladas de menos infinito até o valor d correspondente. Os valores obtidos depois de aplicados os conceitos algébricos são submetidos as conceitos estatísticos.

Note que para analisar o prêmio da call a análise é realizada em uma data anterior ao exercício da call.

2. O Preço da ação

Quanto maior for o preço da ação, maior será o prêmio da opção de compra (call) Duas opções call derivadas da mesma ação com preços de exercício diferentes, a call com maior preço de exercício terá menor prêmio. Vejamos um exemplo:

Cálculo com o modelo Black & Scholes para precificar uma call europeia

preço de opções modelo black scholes Calcule o prêmio da opção de compra com:
  • Preço de exercício X = R$100,00
  • Prazo de 90 dias até a data de exercício
  • Preço da ação S = R$100,00
  • Volatilidade anual dos retornos da ação  = 50%
  • Taxa de juros efetiva livre de risco de 6% durante 365 dias

Solução:

Começamos por preparar os dados para a precificação de opções com o modelo Black & Scholes: Como a data de exercício ocorrerá em 90 dias da analise, o prazo T é igual a 0,2466 obtidos como resultado de dividir 60 por 365 (duração de um ano). Como a taxa de juro efetiva livre de risco é 6% aos 365 dias, a taxa instantânea equivalente no regime de capitalização continua é de 5,827 com o mesmo período, resultado obtido com r = ln(1+0,06). Sendo ln o logaritmo neperiano, ou logaritmo de base e. A seguir calculamos os desvios padronizados d1 e d2.  O resultado d1 = 0,1820 é obtido com: src=//www.bussoladoinvestidor.com.br/images/bs2.gif d1 = Ln(100 / 100) + (0,0583 + 0,5² / 2) * 0,2466                                   0,50 * ( 0,02466)¹/²           d1 = 0,1820  Essa variável estimada com a função da distribuição normal cumulativa padrão, com média zero e desvio padrão 1. O resultado d2 é obtido assim: src=//www.bussoladoinvestidor.com.br/images/bs3.gif d2 = 0,1820 – 0,50 * 0,2466¹/² d2 = -0,0663 Essa variável será estimada com a função da distribuição normal cumulativa padrão, com média zero e desvio padrão 1. O prêmio C da call é R$10,54, resultado obtido com: src=//www.bussoladoinvestidor.com.br/images//bs4.gif C = R$10,54

3. Limitações do modelo Black & Scholes

O modelo Black & Scholes é um ótimo dispositivo para calcular opções dentro do dinheiro (próximas ao valor de exercício), porém não é tão bom para calcular opções fora do dinheiro (longe do valor de exercício), dando diferenças substanciais entre o preço que o modelo aponta e o preço real da opção. O modelo geralmente dá valores muito inferiores ao que o mercado está negociando. O modelo como todo modelo que tenta representar quantitativamente a realidade não mensura variáveis subjetivas. Variáveis como: notícias políticas, o achado de uma nova bacia de petróleo ou uma crise de crédito em determinado país, e como as opções fora do dinheiro são as mais sujeitas a variações da volatilidade e pela grande probabilidade de não serem exercidas o modelo geralmente não as precifica corretamente.

4. Sua vez de usar a Black & Scholes na prática

No início deste artigo você fez o download da planilha calculadora Black & Scholes para Excel. Esta planilha é muito útil não só para que você aprenda o funcionamento, mas também para que você comece a precificar suas próprias opções. Para deixar esta planilha ainda mais poderosa, você pode fazer o download  do nosso Link RTD para Excel, que atualiza em tempo real as cotações dos ativos da Bovespa, incluindo opções. Bons investimentos!]]>

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